变上限积分求导的理解
假设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即 $F^{\prime}(x) = f(x)$。那么对 $f(x)$ 积分，有：
$$
\begin{aligned}
\int f(x) dx = \int F^{\prime}(x) dx= F(x) +C\
\end{aligned}
$$
其中 $C$ 是常数，可以将其表示为 $-F(a)$。如果 $f(x)$ 在 $[a, x]$ 上连续，我们对其进行积分：
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{x} f(t) dt = \int_{a}^{x} F^{\prime}(t) dt= F(x) - F(a) = F(x) + C\
\end{aligned}
$$
因此，其中我们称 $\int_{a}^{x}f(t)dt$ 为 $f(x)$ 的变上限积的定积分，也算是 $f(x)$ 的一个原函数。同时我们也可以得到牛顿-莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式：
$$
\int_{a}^{x=b} f(t)dt = F(b) - F(a)
$$
以上严谨的推导需要通过积分中值配合导数的定义来进行求证，这里暂时省略一段。对于变上限积分求导有：
$$
\frac{d\int_{a}^{x} f(t) dt}{dx} = \frac{d(F(x) - F(a))}{dx} = F^{\prime}(x) = f(x)
$$
对于更一般的情况，当上下限是关于 $x$ 的可导函数时：
$$
\begin{aligned}
\frac{d\int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt}{dx} &= \frac{dF(\psi(x)) - F(\phi(x))}{dx} \\\
&= F^{\prime}(\psi(x))\psi^{\prime}(x) - F^{\prime}(\phi(x))\phi^{\prime}(x) \\\
&=f(\psi(x))\psi^{\prime}(x) - f(\phi(x))\phi^{\prime}(x)
\end{aligned}
$$
因此对变上下限积分求导有下式：
$$
\frac{d\int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t)dt}{dx} =f(\psi(x))\psi^{\prime}(x) - f(\phi(x))\phi^{\prime}(x)
$$
应用示例展示
介绍完理论知识，这里进行举例进行应用。其中涉及到变上限积分时，换元操作易出现错误以及被积函数包含积分上限变量的情况。
♣ 换元易错示例：
问题：
$$
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\cos(t^2)dt
$$常规解法：
$$
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\cos(t^{2})dt=2x\cdot \cos(x^4)
$$学妹的错误解法：
$$
\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2}\cos(t^{2})d(t^2)=x\cdot \cos(x^4)
$$学妹的问题在于没有进行上限的变换以及积分变量的换元替换，因此容易出现失误（不熟悉时不建议这么做），咱们按步骤来：
先进行积分变量的替换，令 $a = t^2$，有 $da =d(t^2) \rightarrow da = 2tdt \rightarrow \frac{da}{2t} = dt$
然后进行积分上下限的计算，当 $t=0$ 时，$a=0$；当 $t=x^2$ 时，$a=x^4$。带入有：
$$
\begin{aligned}
&\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^4}\cos a\frac{da}{2t} \\\
&\because a = t^2 \Rightarrow t = \sqrt{a} \\\
&\Rightarrow \frac{d}{dx}\int_{0}^{x^4}\frac{\cos a}{2\sqrt{a}}da \\\
&\Rightarrow \frac{\cos(x^4)}{2\sqrt{x^4}}dx^4 = 2x\cdot \cos(x^4)
\end{aligned}
$$
♠ 被积函数包含积分上限变量示例：
本示例借用一个学长探究 Newton-Leibniz 公式与 Navier-Stokes 方程关系时，示范容易出现变上限积分求导时犯的错误，学长本身的推导没有错，只是觉得可以用来提醒其他同学：
问题：
求变上限积分 $\int_{a(t)}^{b(t)} f(x, t)dx$ 的导数
将 N-S 方程 $\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho \mu)}{\partial t} = 0$ 与上式进行联系
解答：
我们将上述式子具象化，使用一维流动假设进行联系，假设下述是一根无限长的水管，在 $t$ 时刻有一滴水（橙色部分），其密度与时间和空间的函数为： $\rho(x, t)$ ，如下图所示，水滴的边界为 $a(t)$ 和 $b(t)$ 。经过时间 $\Delta t$ ，水滴位置变为 $a(t+\Delta t)$ 和 $b(t+\Delta t)$ ，密度变为 $\rho(x, t+\Delta t)$（蓝色部分）。
在这迅速变化的世界，我们应该找寻不变的真理。这里的真理就是质量守恒定律，水滴不可能跑着跑着质量还减少了吧，搁这儿减肥呢？因此水滴的质量可以由 $m(t)=\int_{a(t)}^{b(t)}\rho(x,t)dx$ 求得，由质量守恒定律，即质量对时间的导数为 0，有：
$$
\frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt}\int_{a(t)}^{b(t)}\rho(x,t)dx = 0
$$
这里是不是很眼熟了，不就是变上限积分求导吗？桥豆麻袋，被积函数含有上限变量 $t$ ，还能使用其之前的方法直接求导吗？我们举个例子试试：题目：
$$
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} xt^{2}dt
$$
解法一：直接对变上限积分直接求导
$$
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} xt^{2}dt=2x\cdot x \cdot x^4 = 2x^6
$$
解法二：先积分后求导，因为 $x$ 不是积分变量，因此我们可以直接将其提到积分号的外面
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} xt^{2}dt&=\frac{d}{dx}x\int_{0}^{x^2} t^{2}dt \\\
&=\frac{d}{dx}x\cdot \frac{1}{3}t^3 \Bigg|^{x^2}_{0} = \frac{7x^6}{3}
\end{aligned}
$$
解法三：将 $x$ 放到积分号外面，对里面的使用变上限积分求导
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} xt^{2}dt&=\frac{d}{dx}x \cdot\int_{0}^{x^2} t^{2}dt \\\
&=\int_{0}^{x^2} t^{2}dt + x \cdot 2x \cdot (x^2)^2 = \frac{7x^6}{3}
\end{aligned}
$$
显然解法二和解法三是正确的。圆规正转，由上可知我们不能直接对 $\rho(x,t)$ 使用变上限积分求导。可是我们无法直接先积分后求导，也无法将 $t$ 分出来。所以只能采取最原始的办法，即使用导数定义的方式来求解了：
$$
\frac{dm}{dt} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\Bigg(\int_{a(t+\Delta t)}^{b(t+\Delta t)}\rho(x,t+\Delta t)dx-\int_{a(t)}^{b(t)}\rho(x,t)dx\Bigg)
$$
我们可以看到上述分母既有积分上下限的变化，也有被积函数的变化。前者是空间的变化，后者是时间的变化。因此我们得把时空分离开来：
$$
\begin{aligned}
\frac{dm}{dt} = \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\Bigg(\int_{b(t)}^{b(t+\Delta t)}\rho(x,t+\Delta t)dx&+\int_{a(t+\Delta t)}^{a(t)}\rho(x,t+\Delta t)dx \\\\ + \int_{a(t)}^{b(t)}\rho(x,t+\Delta t)dx &-\int_{a(t)}^{b(t)}\rho(x,t)dx\Bigg)
\end{aligned}
$$
上式前面两项是左右边界的变化（空间的变化），因为被积函数保持一致。后面两项则是密度场随时间的变化。前两项分别是积分上限和下限变化，因此使用变限积分求导：
$$
\begin{aligned}
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\int_{b(t)}^{b(t+\Delta t)}\rho(x,t+\Delta t)dx &= \rho(b(t),t)\frac{db(t)}{dt}=\rho(b(t),t)\mu(b(t),t) \\\
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\int_{a(t+\Delta t)}^{a(t)}\rho(x,t+\Delta t)dx &= \rho(a(t),t)\Big(-\frac{da(t)}{dt}\Big)=\rho(b(t),t)\mu(a(t),t)
\end{aligned}
$$
其中 $\mu(x,t)$ 为速度场。使用牛顿-莱布尼兹公式将其合并：
$$
\rho(b(t),t)\frac{db(t)}{dt}-\rho(a(t),t)\frac{da(t)}{dt} =\int_{a(t)}^{b(t)}\frac{\partial (\rho(x,t)\mu(x,t))}{\partial x}dx
$$
后两项积分上下限一致，可见是对密度函数的求导，易得：
$$
\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta t}\Bigg(\int_{a(t)}^{b(t)}\rho(x,t+\Delta t)-\rho(x,t)dx\Bigg)=\int_{a(t)}^{b(t)}\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t}dx
$$
将上述两个结果整理得到最后求导结果：
$$
\frac{dm}{dt} = \int_{a(t)}^{b(t)}\Bigg(\frac{\partial (\rho(x,t)\mu(x,t))}{\partial x}+\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t} \Bigg)dx = 0
$$
对于任意成立的 $a(t)$ 和 $b(t)$ 位置，有：
$$
\frac{\partial \rho(x,t)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho(x,t)\mu(x,t))}{\partial x} = 0
$$
这便是一维的流动连续性方程，对于动量、动量矩、能量积分，便可得到完整的 NS 方程。🌸🌸🌸 这段故事完结 🌈🌈🌈
